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B-S 期权定价模型的意义-平价期权

B-S 期权定价模型(以下简称为 B-S 模型)是众多期权交易者在市场中实际使用的模型,但该模型所用的一些假设和真实市场有一定偏差。因此在真实市场中交易期权时,一定要充分理解期权定价模型的意义及其限制。模型仅仅是模型,是理解现实的工具。

现在全世界的期权交易者都以 B-S 模型为基准,笔者在前面也提到过 B-S 模型有多种缺陷和限制。为了克服这些缺陷和限制,也尝试过开发各种新模型,但到目前为止还没有出现可以超越 B-S 模型的新模型,所以 B-S 模型依然是全世界期权交易者使用最多的模型。

模型是为了理解复杂的现实而提出的简单的假设,人们通过这些假设理解现实世界。某个模型的限制来源于形成该模型根基的核心假设,但在一般情况下,模型所拥有的限制在一般情况下不太容易表现出来,而更容易表现出模型的优点,因为一般情况会较符合模型的假设。但在某些特殊情况下模型的缺点会极端体现,这显然是因为模型的假设和现实有很大的偏离导致的,2008 年的金融危机就属于这种特殊状况。在特殊情况下现有的所有理论都容易变得毫无用武之地。

理解和掌握 B-S 模型的限制和意义相当于在非常特殊的状况下处理现实情况, 但不可盲目地将 B-S 模型奉为真理。只要能在本质上理解 B-S 模型的假设,即便没有完全掌握其复杂的数学公式,也可以不被公式所迷惑,将这个工具应用自如。

下面是 B-S 模型的主要假设,我们来一一分析。

(1)期权平价(Put-Call parity)。
(2)标的资产的对数正态分布。
(3)固定的标的资产波动率。

期权平价(Put-Call Parity)

期权平价是由包括 B-S 模型在内的现代金融理论最基础的假设中推导出的,也是由“天下没有免费的午餐”这个简单的假设所产生的。相同行权价格的期权之间的期权平价关系如下。

C ? P = S ? PV(X)

C,P,S,PV(X)分别为认购期权的现价、认沽期权的现价、标的资产现价、行权价的当前价值。这里的 PV(X)是将到期行权价(X)根据利率折现的值。若用 T 表示到期时间,r 表示利率,则行权价的当前价值 PV(X)=Xe?rT 或 PV(X)=X/(1+rT)。在这里用利率对行权价格进行折现是因为公式的所有价格(C,P,S)均为当前时点的价格,因此到期行权价格也要换算成当前价值。

前面我们利用二项式模型推导期权合理价格时,到期价格和当前价格的关系是当前价格等于到期价格用利率折算的价格,这样就很容易理解期权平价。用到期时点的观点看期权平价,公式为 CT?PT=ST?X,T 表示到期,到期时行权价(X)的现价PV(X)=X,到期时认购期权的价格是 max(ST?X,0),认沽期权价格为 max(X ?ST,0)。只要利用这个公式就可求出 CT?PT,该结果如表所示。

到期的标的资产价格是 ST>X 或 ST≤X 中的一种,因此在任何情形下都有 CT? PT=ST?X,由此可知到期期权平价成立。如果想用当前观点分析,那么将所有价格换成现价即可。

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